a: Xét (O) có 

AB là tiếp tuyến

AC là tiếp tuyến
Do đó AB=AC
hay A nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: OB=OC

nên O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1) và (2) suy ra OA là đường trung trực của BC

Bạn tự vẽ hình nhé !!!

Ta có: 

\(\left\{{}\begin{matrix}OB=OC\left(=R\right)\\AB=AC\left(tínhchất2tiếptuyếncắtnhau\right)\end{matrix}\right.\)

=> AO là đường trung trực của BC

\(\Rightarrow AO\perp BC\left(1\right)\)

\(\Delta BCD\) nội tiếp (O) đường kính BD

\(\Rightarrow\Delta BCD\) vuông tại C

\(\Rightarrow CD\perp BC\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow AO//CD\)

1: Xét tứ giác ABOC có 

\(\widehat{OBA}\) và \(\widehat{OCA}\) là hai góc đối

\(\widehat{OBA}+\widehat{OCA}=180^0\left(90^0+90^0=180^0\right)\)

Do đó: ABOC là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

2:

a) Cm ΔAOE cân tại E

Xét (O) có

AB là tiếp tuyến có B là tiếp điểm(gt)

AC là tiếp tuyến có C là tiếp điểm(gt)

Do đó: OA là tia phân giác của \(\widehat{BOC}\)(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

\(\Leftrightarrow\widehat{BOA}=\widehat{COA}\)

mà \(\widehat{BOA}+\widehat{BAO}=90^0\)(ΔBOA vuông tại B)

nên \(\widehat{COA}=\widehat{BAO}\)

\(\Leftrightarrow\widehat{EOA}=\widehat{BAO}\)

mà \(\widehat{BAO}+\widehat{EAO}=90^0\)

nên \(\widehat{EOA}=\widehat{EAO}\)

Xét ΔEOA có \(\widehat{EOA}=\widehat{EAO}\)(cmt)

nên ΔEOA cân tại E(Định lí đảo của tam giác cân)

a) Xét tứ giác ABOC có

\(\widehat{OBA}+\widehat{OCA}=180^0\left(90^0+90^0=180^0\right)\)

Do đó: ABOC là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

Xét (O) có 

AB là tiếp tuyến có B là tiếp điểm(gt)

AC là tiếp tuyến có C là tiếp điểm(gt)

Do đó: AB=AC(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Ta có: OB=OC(=R)

nên O nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)

Ta có: AB=AC(cmt)

nên A nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)

Từ (1) và (2) suy ra OA là đường trung trực của BC

hay OA\(\perp\)BC

Xét ΔOBC có OB=OC(=R)

nên ΔOBC cân tại O(Định nghĩa tam giác cân)

mà OH là đường cao ứng với cạnh BC

nên H là trung điểm của BC(Đpcm)

b) Vì AB là tiếp tuyến \(\Rightarrow\angle ABD=\angle AEB\) (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp chắn cung đó)

Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta AEB:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle ABD=\angle AEB\\\angle EABchung\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta ABD\sim\Delta AEB\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{AB}{AE}=\dfrac{AD}{AB}\Rightarrow AB^2=AD.AE\)

mà \(AB^2=AH.AO\) (hệ thức lượng) \(\Rightarrow AD.AE=AH.AO\Rightarrow\dfrac{AD}{AO}=\dfrac{AH}{AE}\)

Xét \(\Delta AHD\) và \(\Delta AEO:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{AD}{AO}=\dfrac{AH}{AE}\\\angle EAOchung\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta AHD\sim\Delta AEO\left(c-g-c\right)\Rightarrow\angle AHD=\angle AEO\)

\(\Rightarrow DHOE\) nội tiếp \(\Rightarrow\angle OEH=\angle ODH\)

a: Xét (O) có

AB,AC là các tiếp tuyến

Do đó: AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1) và (2) suy ra AO là đường trung trực của BC

b: AO là đường trung trực của BC

=>AO\(\perp\)BC tại H và H là trung điểm của BC

Xét (O) có

\(\widehat{ABE}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến BA và dây cung BE

\(\widehat{EDB}\) là góc nội tiếp chắn cung BE

Do đó: \(\widehat{ABE}=\widehat{EDB}\)

Xét ΔABE và ΔADB có

\(\widehat{ABE}=\widehat{ADB}\)

\(\widehat{BAE}\) chung

Do đó: ΔABE đồng dạng với ΔADB

=>\(\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AE}{AB}\)

=>\(AB^2=AD\cdot AE\)

c: Xét (O) có

MB,ME là các tiếp tuyến

Do đó: MB=ME

Xét (O) có

NE,NC là các tiếp tuyến

Do đó: NE=NC

Chu vi tam giác AMN là:

\(AM+MN+AN\)

\(=AM+ME+EN+AN\)

\(=AM+MB+AN+NC\)

=AB+AC

a)  Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp được đường tròn.

A B O ^ = 90 0 A C O ^ = 90 0 A B O ^ + A C O ^ = 180 0

=> tứ giác ABOC nội tiếp được đường tròn.

b)  Vẽ cát tuyến ADE  của (O) sao cho ADE  nằm giữa 2 tia AO, AB; D, E Î (O) và D nằm giữa A, E. Chứng minh  A B 2 = A D . A E .

Tam giác ADB đồng dạng với tam giác ABE

⇒ A B A E = A D A B ⇔ A B 2 = A D . A E

c)  Gọi F là điểm đối xứng của D qua AO, H là giao điểm của AO và BC. Chứng minh: ba điểm E, F, H  thẳng hàng.

Ta có  D H A ^ = E H O ^

nên  D H A ^ = E H O ^ = A H F ^ ⇒ A H E ^ + A H F ^ = 180 0 ⇒ 3 điểm E, F, H  thẳng hàng.

Có 1 phần câu trả lời ở đây.

Giải toán: Bài hình trong đề thi HK2 Lớp 9 | Rất phức tạp. - YouTube